تاریخچه هندسه فرکتالي

هندسه فرکتالي يا هندسه فرکتال ها پديده ايست که چندي پيش پا به دنياي رياضيات گذاشت. پيش از اينکه مندلبورت اين واژه را ابداع کند، براي چنين اشکالي، از واژه «منحني‌هاي هيولايي» استفاده مي‌شد. واژه فراکتال مشتق گرفته شده از واژه لاتینی فراکتوس به معنای سنگ است که به شکل نا منظم شکسته و خرد شده. که در سال 1976 توسط رياضيدان لهستاني به نام بنوئيت مندلبرات وارد دنياي رياضيات شد.
او در سال 1987 پرفسوري خود را در رشته رياضيات گرفت.
مندلبرات وقتي که بر روي تحقيقي پيرامون طول سواحل انگليس مطالعه مي نمود به اين نتيجه رسيد که هر گاه با مقياس بزرگ اين طول اندازه گرفته شود بيشتر از زماني است که مقياس کوچکتر باشد.
فرهنگستان زبان هم واژه برخال را تصويب کرده و همچنين براي واژه فرکتالي واژه برخالي را تصويب کرده است.
واژه فركتال به معناي سنگي است كه به شكل نامنظم شكسته شده باشد.

دیوید هیلبرت

دیوید هیلبرت ریاضیدان مشهور، در 23 ژانویه‌ی سال 1862 در شهر كوئینزبرگ -شهری در روسیه‌ی فعلی- متولد شد و در 14 فوریه‌ی سال 1943 در شهر گوتینگن آلمان چشم از جهان فرو بست. وی از سال 1886 تا 1895 به تدریس ریاضیات در دانشگاه كوئینزبرگ اشتغال داشت و مابقی عمر پربار علمی خود را در فاصله‌ی سال‌های 1895 تا 1930 در دانشگاه گوتینگن سپری كرد.هیلبرت را می‌توان یكی از بزرگترین ریاضیدانان تمامی اعصار دانست. وی كارهای بسیار ارزشمندی را در شاخه‌های متنوعی از ریاضیات انجام داده است. یكی از مهمترین كارهای وی صورت‌بندی اصول هندسه‌ی اقلیدسی و به طور كلی بررسی هندسه‌ی اصل موضوعی است؛

وی در كتاب «مبانی هندسه» كه در سال 1899 منتشر شد، به شرح نتایج مطالعات خود در این زمینه پرداخته است. هیلبرت بنیان‌گذار یكی از مكاتب اصلی فلسفه‌ی ریاضی با نام «صورت‌گرائی»، در اوایل قرن 20 بوده است؛ در حقیقت این مكتب بعد از اتمام مطالعات وی در بررسی اصل موضوعی هندسه بنیان گذاشته شد.
در سال 1900 و در كنگره‌ی بین‌المللی ریاضیدانان، هیلبرت فهرستی از 23 سوال حل نشده‌ی ریاضیات ارائه كرد كه به جرأت می‌توان گفت كه با قرار گرفتن «حل این سوالات» در صدر اهداف ریاضیدانان، عملاً خط مشی پیشرفت ریاضیات در قرن بیستم تعیین شد.
هیلبرت هم‌چنین علاقه‌ی مخصوصی به برخی زمینه‌های فیزیك داشته است و كارهای مهمی نیز در این زمینه‌ها انجام داده است. این علاقه بهطور خاص در تعاملات وی با انیشتین -و در راستای صورت‌بندی «نسبیت عام»- نمود پیدا كرده است.

از بین مساله های معروف هیلبرت تا كنون 18 سوال به طور كامل حل شده است! از 5 سوال دیگر: یك سوال به طور موضعی حل شده است، 2 سوال حل نشده باقیمانده‌اند، صورت یك سوال مبهم است و یك سوال هم به زمینه‌ای غیر از ریاضیات –فیزیك- اختصاص دارد.

حساب دوره اسلامی

ریاضیدانان اسلامی نخستین كسانی بودند كه اعداد را به صورت امروزی آن می نوشتند، و گرچه ما هندسه خود را از یونان به ارث برده ایم، حساب ما بخشی از میراث ما از دنیای مسلمین است. این امر حقیقت دارد ولو اینكه ریاضیدانان هندی در هند شاید چند سده پیش از طلوع تمدن اسلامی دستگاه شماری را با دو مشخصه زیر بنیاد نهاد:
۱- اعداد از ۱ تا ۹ با نه رقم نمایش داده می شوند كه همه به سادگی از یك یا دو خط نشان درست شده اند.
۲- آخرین رقم سمت راست یك شمار به نشانه تعداد آحاد است و هر واحد در هر مكانی ده برابر واحد واقع در سمت راست خودش است. بنابراین رقم واقع در مكان دوم به نشانه دهگان و آنكه در مكان سوم است به نشانه تعداد صدها است (صدگان) و غیره. یك علامت خاص یعنی صفر برای بیان خالی بودن مكان مفروضی مورد استفاده قرار می گیرد.
این دو خاصیت بیانگر دستگاه كنونی نوشتن اعداد صحیح هستند و می توان به طور خلاصه گفت كه هندیان نخستین كسانی بودند كه یك دستگاه رمزی، اعشاری و موضعی را به كار بردند. منظور از «رمزی» آن است كه نه عدد نخستین با نه رمز یا رقم نمایش داده می شوند و این بر خلاف شیوه مرسوم مصریان و بابلیان بود كه در آن نمایش اعداد از پهلوی و بر روی هم نهادن خط نشان ها پدید می آمدند.
منظور از اعشاری آن است كه مبنا ده است. اما هندیان این دستگاه را برای نمایش اجزای واحد به وسیله كسرهای اعشاری گسترش ندادند و چون این مسلمین بودند كه برای نخستین بار چنین كردند، بنابراین اولین كسانی بودند كه اعداد را به صورتی كه ما نمایش می دهیم نمایش دادند. بنابراین كاملاً بجا است كه این دستگاه را «هندی- عربی» بنامیم.
در این باره كه از چه زمانی هندیان برای نخستین بار نوشتن اعداد صحیح را بر طبق این دستگاه آغاز كردند، شواهد موجود نشان می دهد كه این دستگاه منجم بزرگ هند، «آریبهطه» (تولد ۴۷۶) به كار برده نشده است، ولی در عصر شاگردش «بهاسكره» اول، حوالی سال ۵۲۰ مورد استفاده بوده است.
خبر این كشف در همه جا پیچید، زیرا در حدود ۱۵۰ سال بعد، «سورس سبوخت»، اسقف كلیسای نستوری (یكی از چندین فرقه مسیحی موجود در دنیای شرق آن زمان) از اقامتگاه خود دیر قنسرین واقع در كنار فرات علیا نوشت:
ریاضیدانان فعلاً از دانش هندیان كه حتی سریانی نیستند، از كشفیات ارزشمند آنها در علم نجوم كه هوشمندانه تر از نجوم مصریان و بابلیان است، و روش زیبای آنها در محاسبات شان كه زبان از بیانش قاصر است، چیزی نمی گویم. تنها می خواهم بگویم كه این محاسبات تنها با نه علامت انجام می شود. اگر آنهایی كه فكر می كنند به مرزهای دانش رسیده اند فقط به این دلیل كه به زبان یونانی سخن می گویند، این چیزها را می دانستند، شاید- گرچه اندكی دیرتر- متقاعد می شدند كه كسان دیگری هم هستند كه چیزی در چنته دارند و اینها تنها یونانیان نیستند، بلكه مردمانی هستند كه به زبان دیگری تكلم می كنند.
ادامه نوشته

غلامحسین مصاحب

غلامحسین مصاحب ریاضیدان و دانشنامه‌نویس ایرانی و سرپرست دايره‌العمارف معروف مصاحب  در سال 1289 در خیابان جلیل آباد در منطقه ۴ تهران در خانواده‌ای با سطح سواد و دانش بالا به دنیا آمد.

پدر بزرگش، میرزا غلامعلی، خوشنویس، پدرش طبیب و مادرش شاعر بود. وی ۴ خواهر و برادر داشت. او در همان محل به مدرسه رفت و در سال‌های تحصیلات ابتدایی علاقه زیادی به ریاضیات بروز داد و با خواندن جبر و هندسه در دوران متوسطه، علاقه وی به ریاضیات بیشتر شد.

مصاحب علاوه بر ریاضیات، زبانهای عربی و فرانسوی و انگلیسی را نیز در حد عالی فرا گرفت. وی همچنین به زبانهای روسی و آلمانی نیز در حد استفاده از منابع آشنایی داشت.
وی در سال ۱۳۱۶ ازدواج کرد و برای ادامه تحصیل به فرانسه رفت. پس از بازگشت، تدریس را در دانشسرای عالی به طور جدی در سال ۱۳۲۰ آغاز نمود. در سال ۱۳۲۴ برای تکمیل تحصیلات به انگلستان رفت و در سال ۱۳۲۷ به اخذ درجه دکتری در ریاضیات از دانشگاه کمبریج نایل آمد و در همین سال به عضویت انجمن ریاضی‌دانان انگلیس نیز درآمد. وی در انگلستان شاگرد خاص برتراند راسل، رياضیدان و فیلسوف نامدار انگلیسی بود.


ادامه نوشته

تاریخ هندسه نااقلیدسی

نیكلای ایوانوویچ لوباچفسكی نخستین كسی بود كه در سال ۱۸۲۹ مقاله ای در زمینه هندسه نااقلیدسی منتشر ساخت. هنگامی كه اثر او منتشر شد چندان مورد توجه قرار نگرفت، بیشتر به این علت كه به زبان روسی نوشته شده بود و روس هایی كه آن را می خواندند، سخت خرده گیری می كردند. وی در سال ۱۸۴۰ مقاله ای به زبان آلمانی منتشر كرد كه مورد توجه گاوس قرار گرفت. گاوس در نامه ای به ه. ك. شوماخر از آن مقاله ستایش كرد و در عین حال تقدم خود را در این زمینه تكرار كرد. لوباچفسكی هندسه اش را در آغاز «هندسه انگاری» و بعد «هندسه عام» نام گذارد و موضوع آن را در مقاله هایی كه منتشر كرد به طور كامل بسط داد.
لوباچفسكی علنا با تعلیمات و اصول عقاید كانت درباره فضا، به مثابه شهود ذهنی، به مبارزه برخاست و در سال ۱۸۳۵ نوشت: «تلاش های بی ثمری كه از زمان اقلیدس تاكنون صورت گرفته است... این بدگمانی را در من برانگیخت كه حقیقت... در داده ها وجود ندارد و برای اثبات آن مثل مورد قوانین دیگر طبیعت كمك های تجربی، مثلا مشاهدات نجومی نیاز است.» اریك تمپل بل در كتاب «مردان ریاضیات» لوباچفسكی را «آزادكننده بزرگ» و «كپرنیك دانش هندسه» نام داده است. بل می گوید نام او باید برای هر بچه مدرسه ای به اندازه نام های میكل آنژ یا ناپلئون آشنا باشد. بدبختانه از لوباچفسكی در دوران حیاتش تجلیل نشد.

و در حقیقت در ۱۸۴۶ به رغم بیست سال خدمت برجسته ای كه با عنوان استاد و رئیس انجام داده بود، از دانشگاه قازان اخراج شد. او مجبور شد در سال پیش از مرگش، به علت نابینایی آخرین كتابش را تقریر كند تا برایش بنویسند.


ادامه نوشته

بینهایت

بی نهایت از واژه لاتین "finitus" به معنی "محدود" گرفته شده ( علامت ∞ ) چیزی است که "محدود" نیست، که در آن هیچ محدودیت فضایی و زمانی وجود ندارد.

نگرش باستانی در مورد بی نهایت

نگرش باستانی از ارسطو آغاز شده است :

"تفکر درباره یک عدد بزرگ همیشه ممکن است: چون تعداد دفعاتی که میتوان یک مقدار را به دو نیمه تقسیم کرد، بی نهایت است. بنابراین بی نهایت، امکان بالقوهای است که هرگز بالفعل نمی گردد؛ تعداد اجزایی را که می توان به دست آورد، همیشه از هر عدد معینی بیشتر است."

به این مورد اغلب بی نهایت "بالقوه" اطلاق می شود، بهرحال دو نظریه در این مورد با هم ترکیب شده اند. یکی اینکه همیشه پیدا کردن چیزی هایی که تعداد آنها از هر عددی بیشتر باشد ممکن است، اگرچه آن چیزها عملا وجود نداشته باشند. دیگر اینکه ما می توانیم بدون محدودیتی، اعداد بالاتر از محدود را شمارش کنیم.

نظریات مدرن

مباحث مدرن درباره بینهایت، امروزه بصورت بخشی از تئوری مجموعه و ریاضیات مورد توجه قرار گرفته است، و کلا فلاسفه از بحث درباره آن احتراز می کنند. Wittgenstein یک استثناء بوده است، کسی که حملات مهیجی را علیه بدیهیات تئوری مجموعه، و ایده بینهایت عملی، در "اواسط عمر خود" انجام داد.
بینهایت امروزه به انواع مجموعه های نامحدود زیادی تقسیم شده است، مانند aleph-null ، یک سری قابل شمارش از اعداد طبیعی، و beth-one ، یک سری غیر قابل شمارش مانند تعداد کمانهای موجود در یک دایره یا تعداد نقاط روی یک خط، و یک تعداد نامحدود از چیزهای دیگر.

پيدايش مثلثات

از نامگذارى «مثلثات» مى توان حدس زد كه اين شاخه از رياضيات دست كم در آغاز پيدايش خود به نحوى با «مثلث» و مسئله  هاى مربوط به مثلث بستگى داشته است. در واقع پيدايش و پيشرفت مثلثات را بايد نتيجه اى از تلاش هاى رياضيدانان براى رفع دشوارى هاى مربوط به محاسبه هايى دانست كه در هندسه روبه روى دانشمندان بوده است. در ضمن دشوارى هاى هندسى، خود ناشى از مسئله  هايى بوده است كه در اخترشناسى با آن روبه رو مى شده اند و بيشتر جنبه محاسبه اى داشته اند. در اخترشناسى اغلب به مسئله   هايى بر مى خوريم كه براى حل آنها به مثلثات و دستورهاى آن نيازمنديم. ساده ترين اين مسئله  ها، پيدا كردن يك كمان دايره (بر حسب درجه) است، وقتى كه شعاع دايره و طول وتر اين كمان معلوم باشد يا برعكس، پيدا كردن طول وترى كه طول شعاع دايره و اندازه كمان معلوم باشد. مى دانيد سينوس يك كمان از لحاظ قدر مطلق برابر با نصف طول وتر دو برابر آن كمان است. همين تعريف ساده اساس رابطه بين كمان ها و وترها را در دايره تشكيل مى دهد و مثلثات هم از همين جا شروع شد. كهن ترين جدولى كه به ما رسيده است و در آن طول وترهاى برخى كمان ها داده شده است متعلق به هيپارك، اخترشناس سده دوم ميلادى است و شايد بتوان تنظيم اين جدول را نخستين گام در راه پيدايش مثلثات دانست.

ادامه نوشته

انسان اولیه چگونه می شمرد

در آغازانسان اولیه برای نشان دادن عدد مورد نظر خود از زبان اشاره استفاده می کرد. شاید به ببری که کشته بود یا به سرنیزه همسایه اش اشاره کند یا شاید انگشتانش برای نشان دادن عدد استفاده می کرد سه انگشت دست معنی سه می داد خواه سه نیزه یا سه ببر یا سه غار باشد. در ابتدا انسان اولیه می توانست تا دو بشمرد امروزه هنوز در جهان قبایلی ابتدایی مانند بومیان بدوی استرالیا”ابوجین”ها وجود دارد فقط سه عدد می شناسند یک،دو و بسیار هنگامی با انگشتان دست شماره میکنید تفاوتی نمی کند که از انگشت کوچک دست یا از انگشت شصت شروع کنیم اما بین برخی از اقوام برای این کار قاعده هایی وجود دارد مثلا زونیا(قبیله ای از سرخپوستان آمریکای شمالی)شمردن را از انگشت کوچک دست چپ شروع می کردند.